Книга посвящена одной из важнейших тем математического анализа – вычислению пределов числовых последовательностей и функций. Она ориентирована на студентов младших курсов университетов и технических вузов, изучающих математику, а также на школьников старших классов, проявляющих интерес к углубленному изучению предмета. В первой части книги подробно рассматриваются теоретические основы понятия предела. Даются строгие определения предела числовой последовательности и предела функции, обсуждаются их свойства и взаимосвязи. Особое внимание уделяется различным видам пределов: конечным и бесконечным, односторонним и двусторонним. Приводятся примеры последовательностей и функций, имеющих и не имеющих пределы, а также рассматриваются случаи, когда предел существует, но не является очевидным. Центральная часть книги посвящена практическим методам вычисления пределов. Подробно разбираются следующие методы: Непосредственное вычисление по определению. Рассматриваются примеры применения определения предела для доказательства существования предела и его вычисления. Этот метод позволяет глубже понять суть понятия предела. Использование основных теорем о пределах. Приводятся и доказываются теоремы о пределах суммы, разности, произведения и частного функций. Показывается, как эти теоремы позволяют упростить вычисление пределов сложных функций. Раскрытие неопределенностей. Подробно рассматриваются различные типы неопределенностей, такие как 0/0, ∞/∞, 0⋅∞, ∞ - ∞, 1^∞, 0^0, ∞^0. Описываются методы раскрытия этих неопределенностей, включая правило Лопиталя, использование эквивалентных бесконечно малых и бесконечно больших величин, а также алгебраические преобразования. Пределы, связанные с замечательными пределами. Рассматриваются первый и второй замечательные пределы, а также их следствия. Показывается, как эти пределы можно использовать для вычисления пределов тригонометрических, показательных и логарифмических функций. Пределы последовательностей, заданных рекуррентно. Описываются методы вычисления пределов последовательностей, заданных рекуррентными соотношениями. Рассматриваются как сходящиеся, так и расходящиеся последовательности. Каждый метод иллюстрируется большим количеством примеров с подробными решениями. Примеры подобраны таким образом, чтобы охватить различные типы функций и последовательностей, а также различные уровни сложности. Решения примеров сопровождаются подробными пояснениями, что позволяет читателю понять логику рассуждений и научиться применять методы вычисления пределов на практике. В книге также рассматриваются некоторые специальные темы, связанные с пределами, такие как: Бесконечно малые и бесконечно большие величины. Даются определения бесконечно малых и бесконечно больших величин, рассматриваются их свойства и взаимосвязи. Обсуждается понятие эквивалентности бесконечно малых и бесконечно больших величин. Сравнение бесконечно малых и бесконечно больших величин. Описываются методы сравнения бесконечно малых и бесконечно больших величин, позволяющие определить, какая из величин убывает или возрастает быстрее. Непрерывность функций. Дается определение непрерывности функции в точке и на промежутке. Рассматриваются свойства непрерывных функций и их связь с пределами. В конце каждой главы приводятся упражнения для самостоятельного решения. Ответы ко всем упражнениям даны в конце книги. Книга написана простым и понятным языком, что делает ее доступной широкому кругу читателей. Она будет полезна студентам, аспирантам, преподавателям математики, а также всем, кто интересуется математическим анализом. Также на сайте вы можете скачать другие книги и учебники.