Книга «Вероятность» Альберта Николаевича Ширяева, том 2, представляет собой углубленное и систематическое изложение современной теории вероятностей. Этот том, наряду с первым, является фундаментальным трудом, охватывающим широкий спектр тем, от основ теории меры и интеграла Лебега до продвинутых концепций стохастического анализа и случайных процессов. Второй том начинается с детального рассмотрения условных вероятностей и математических ожиданий. Автор тщательно анализирует понятие условной вероятности относительно сигма-алгебры, что является ключевым для понимания мартингалов и других стохастических моделей. Особое внимание уделяется теореме Радона-Никодима и ее применению к задачам фильтрации и оценивания. Далее книга переходит к изучению мартингалов и субмартингалов. Подробно излагаются основные теоремы о сходимости мартингалов, включая теорему Дуба о сходимости и теорему о сходимости ограниченных мартингалов. Рассматриваются приложения мартингальной теории к задачам оптимальной остановки и финансовой математики. Значительная часть второго тома посвящена теории случайных процессов с непрерывным временем. Автор представляет различные классы процессов, такие как процессы с независимыми приращениями, процессы Маркова и диффузионные процессы. Особое внимание уделяется броуновскому движению и его свойствам, а также стохастическому исчислению Ито. Подробно излагаются теоремы существования и единственности решений стохастических дифференциальных уравнений. Книга также содержит главы, посвященные предельным теоремам теории вероятностей. Рассматриваются различные формы закона больших чисел и центральной предельной теоремы. Автор анализирует условия сходимости последовательностей случайных величин и исследует скорость сходимости в предельных теоремах. Отличительной особенностью книги является ее строгость и математическая точность. Все результаты доказываются с использованием современных методов теории меры и функционального анализа. Книга содержит большое количество примеров и задач, иллюстрирующих теоретические концепции и помогающих читателю углубить свое понимание предмета. Примеры охватывают различные области применения теории вероятностей, включая физику, экономику, финансы и статистику. «Вероятность» Ширяева, том 2, предназначена для студентов, аспирантов и научных работников, специализирующихся в области теории вероятностей, математической статистики и смежных областях. Книга требует от читателя хорошего знания математического анализа и теории меры. Однако благодаря четкому изложению и подробным доказательствам она может быть полезна и для тех, кто только начинает изучать теорию вероятностей на продвинутом уровне. Этот том является незаменимым ресурсом для всех, кто стремится к глубокому пониманию современной теории вероятностей и ее приложений. Книга содержит подробные доказательства всех основных теорем и результатов, что делает ее ценным пособием для самостоятельного изучения. Большое количество примеров и задач позволяет читателю закрепить полученные знания и развить навыки решения практических задач. Включены исторические комментарии и ссылки на оригинальные работы, что позволяет читателю оценить вклад различных ученых в развитие теории вероятностей. Книга является результатом многолетней преподавательской деятельности автора и отражает его глубокое понимание предмета. Подходит для использования в качестве учебника для продвинутых курсов по теории вероятностей и стохастическому анализу. Книга будет интересна как математикам-теоретикам, так и специалистам, применяющим методы теории вероятностей в различных областях науки и техники. Также на сайте вы можете скачать другие книги и учебники.